INTRODUCCION A LOS SISTEMAS NO LINEALES DE CONTROL

Carlos Enrique D'Attellis

Proemio

En general, los acontecimentos básicos que dan fundamento a cualquier ramo del conocimiento, y que son el origen de posteriores desarrollos teóricos, pueden ubicarse en épocas de límites imprecisos y difusos.

Pero en el caso de la teoría moderna de control no es así, ya que se puede determinar con precisión una fecha: " El año 1959 fue el preludio de drásti­ cos cambios en el campo del control. El primer congreso de la IFAC se realizó en Moscú, en junio de 1960. Tres de los trabajos presentados revolucionaron la teoría de control automático y señalaron la dirección de la investigación futura. Esos trabajos fueron los de Kalman, Bellman y Pontryagin. Inme­ diatamente después de ese congreso, todos los trabajos sobre control siguieron la línea de la teoría moderna, utilizando el concepto de variable de estado, y el formato de Lema, Teorema, Demostración".

Las palabras anteriores fueron pronunciadas por George S. Axelby - editor fundador de IEEE Transactions on Automatic Control y de Automa­ tica, órgano de la International Federation of Automatic Control - en la 24th. Conference on Decision and Control, en 1987.

Tres décadas pasaron desde 1960, y en ellas se produjo un enorme desa­ rrollo de esa teoría, acompañado de múltiples y deslumbrantes aplicaciones. La mayor parte de ese desarrollo correspondió a la teoría lineal, puesto que -como es habitual en la historia- la elaboración de ideas y la formalizac ión de conceptos comienzan a hacerse sobre lo que resulta relativamente más tratable, más manejable. Así, las ecuaciones diferenciales que modelaron los procesos fueron lineales, como lo fueron las ecuaciones en diferencias, los operadores, o cualquier otro elemento matemático que sirviera como modelo para un sistema de control.

Pero el mundo real es no lineal. Es inevitable aceptarlo para tratar de explicarlo y domeñarlo.

En consecuencia con ello se desarrollo, en la última década y media, una teoría de control no lineal que mostró un vigoroso desarrollo. Nos referimos a la que admite que los modelos del proceso sean no lineales en los estados y lineales en los controles, es decir, aquellos cuya descripción en variables de estado está definida por una ecuación diferencial del tipo

donde x es un vector n-dimensional y los controles u i son funciones escalares.

Sin entrar por ahora en detalles sobre la ecuación anterior, digamos que con el tipo de modelo no lineal que ella representa se obtuvieron importantes logros al tratar aplicaciones concretas, y se construyó un importante cuerpo teórico.

Sobre el primer punto podemos citar como ejemplos aplicaciones a di­ versos campos como el aeroespacial y aeronáutico, el de sistemas mecánicos, eléctricos, electrónicos, el de procesos químicos y bioquímicos, etc.

Sobre el segundo punto -la teoría desarrollada- podemos mencionar los libros de Isidori ([2]) y Nijmeijer y van der Schaft ([1]) que son la muestra mas reciente y didáctica de los resultados obtenidos para el tipo de sistemas no lineales de control que comentamos.

Si la teoría de funciones de variable compleja, el álgebra lineal, las ecua­ ciones diferenciales lineales y las transformaciones de Fourier y Laplace, for­ maron el cuerpo matemático que se utilizó en la teoría de control lineal, ¿qué tópico matemático está en la base de la teoría de control no lineal? La respuesta a la pregunta anterior es: la geometría diferencial.

Esto es un interesante ejemplo del siguiente principio, que creemos fun­damental (Sussmann): una teoría matemática es de utilidad en otro campo científico cuando responde preguntas previamente formuladas en ese campo, que no tendrían respuesta sin el uso de esa teoría.

Es importante subrayar las palabras destacadas. Las preguntas previa­ mente formuladas aseguran que no se usen teorías de gran complejidad solo para resolver problemas artificialmente creados; luego de asegurar esa condi ción, el hecho de no tener solución para el problema fuera de esa teoría, muestra la necesidad de la misma.

Decimos que el control no lineal es un buen ejemplo de este principio ya que las preguntas que se plantean reconocen su origen en la teoría lineal: tiene tanto sentido preguntarse sobre la controlabilidad o la estabilización -por ejemplo- de un sistema dinámico, sea éste lineal o no lineal. Además, sin los recursos provistos por la geometría diferencial, preguntas como las anteriores quedarían sin respuesta.

Es comprensible que el avance hacia lo que es mas complicado -desde lo lineal hacia lo no lineal en nuestro caso- necesite elementos tomados de teorías más complejas. Los dos libros anteriormente mencionados lo demues­ tran claramente. Ninguna persona interesada en control puede tener acceso a ellos sin una formación en geometría diferencial.

Por un lado entonces, nos encontramos con un interesante cuerpo teórico que usa elevados recursos matemáticos. Por otro, la utilización de los resultados de esa teoría en importantes aplicaciones robóticas, eléctricas, quimicas, aeronauticas, etc., habla claramente de su utilidad prictica. En medio, los interesados en el tema "control" que -en general- observan con cierta inquietud la creciente complejidad matemitica de la teoria, y con marcado interes lo atra.ctivo de las variadas y novedosas aplicaciones.

A ese auditorio está dirigido este texto.

El objetivo que nos proponemos es el de exponer la teoría de control no lineal evitando todos aquellos complicados elementos de la geometría diferencial que se usan habitualmente en la bibliografía, reemplazándolos por los que son de uso común para quien haya estudiado un curso de Análisis en varias variables reales y uno de Álgebra Lineal.

Es natural pensar que los interesados en el control no lineal hayan tenido contacto previo con la teoría lineal en la línea de variables de estado ([18], [19], [10], por citar algunos), y así lo supondremos en todo el desarrollo; eso exige una preparación en el Álgebra Lineal y en el Análisis Matemático que es, justamente, la requerida para enfrentar este texto. De cualquier manera, aclaramos que los requisitos matemáticos previos, tanto algebraicos como analíticos, pueden encontrarse, por ejemplo, en los libros citados en la bibliografía ([3], [6], [13]), por citar algunos ejemplos.

Resumiendo, el objetivo del texto es introducir la teoría no lineal si­guiendo una línea de exposición que no use recursos matemáticos que no son usuales en la comunidad dedicada al control.

Con tal enfoque se pierden algunos detalles teóricos, pero nos dirigimos a un auditorio interesado en el control de procesos, y no exclusivamente en el desarrollo teórico de resultados y el examen detallado de principios.

El objetivo es simplificar la teoría sin perder rigor, de forma que el re­ sultado final sea la comprensión de la misma y la posibilidad de llegar a, aplicarla. Aclarada la línea de exposición y los requisitos previos, esbocemos el contenido del texto.

Preferimos introducir los conceptos necesarios -nos referimos fundamen­ talmente a las derivadas y corchetes de Lie- a través del mecanismo de la linealización exacta de un sistema no lineal. Es un buen punto inicial, ya que muestra que, en algunos casos al menos, es posible diseñar controladores para sistemas no lineales usando la teoría lineal, campo que suponemos co­nocido. Por la misma razón examinamos el significado de cada resultado, de cada definición, en el campo lineal, lo que permite ver a la teoría geométrica no lineal como generalización de la lineal.

En el Capítulo 1 introducimos los elementos básicos de la teoría a través de cambios de coordenadas que conducen a la llamada forma normal. Como es usual, cada vez que se plantea un problema se trata de buscar una forma equivalente del mismo sobre la cual la solución sea más fácil de obtener; la teoría de control lineal muestra claramente que transformar la matriz del sistema en alguna forma canónica permite que ciertas conclusiones surjan en forma evidente, y facilita el tratamiento de ciertos aspectos que caracterizan su comportamiento.

Lo mismo sucede en el caso de los sistemas no lineales, ya que conside­ rando transformaciones no lineales de coordenadas en el espacio de estados, es posible obtener una forma normal a partir de la cual surgen dos líneas de análisis: una es la linealización exacta del sistema -que se trata en el Capítulo 2 y otra es el estudio de la dinámica de los ceros, que se hace en el Capítulo 4.

La linealización exacta -que además logra el desacoplamiento de los canales entrada-salida del sistema- permite, como ya fue dicho, el diseño de controles sobre el sistema lineal para lograr los objetivos deseados. Es­tablecido eso en el Capítulo 2, pasamos inmediatamente a una importante aplicación: el control de un manipulador robótico con juntas rígidas, cuya modelización y linealización se da n en el Capítulo 3.

El Capítulo 4 trata, como ya comentamos, el problema de la dinámica de los ceros, cuyo comportamiento esta estrechamente vinculado a la posibilidad de estabilizar un sistema no lineal, es decir, la posibilidad de diseñar una realimentación (tanto de estados como de salidas, trataremos ambos casos) que obligue al sistema a volver al punto de equilibrio luego de sufrir alguna perturbación. Después de mostrar el cálculo de la dinámica de los ceros en un manipulador robótico con una junta elástica y en un reactor de agitado continuo, pasamos a tratar el importante problema de estabilización en el Capítulo siguiente.

Comenzamos el Capítulo 5 con una corta reseña sobre estabilidad, con el objeto de establecer las ideas básicas que se usan en las - siguientes secciones. Después de hacerlo realizamos el análisis de la estabilización de sistemas cuya dinámica de los ceros es asintóticamente estable, que son generalización no lineal -lo mostramos- de los sistemas lineales de mínima fase.

Los resultados obtenidos sobre estabilización mediante realimentación de estados se basan en la teoría de la Variedad Centro, y los correspondientes a estabilización mediante realimentación de la salida, en la teoría de Perturba­ciones Singulares. Es claro que no se pueden tratar ambas en profundidad, pero siguiendo los lineamientos que comentamos al. hablar de los objetivos pretendidos, exponemos las ideas básicas sobre tales tópicos en sendos Apéndices al Capítulo, de forma, de introducir los temas y enunciar los resultados necesarios sin entorpecer la línea de exposición, que pone el acento en el problema de la estabilización y su análogo, el de seguimiento de trayecto­rias. Culmina el Capítulo con la aplicación de los resultados obtenidos a un motor de corriente continua con tensión de armadura constante; las simula­ciones computacionales presentadas permiten comprobar el comportamiento del controlador no lineal, tanto en el seguimiento de trayectorias como en la regulación.Tal como hicimos en el caso de la linealización exacta, una vez esta­blecidos los resultados teóricos pasamos a las aplicaciones que muestran su utilidad. Por eso, en el Capítulo 6 se muestra como los conceptos estudia­dos intervienen en el control de motores de inducción y brazos de robot que incluyen juntas elásticas.

Llegada la exposición a este punto, es posible tratar -con los recur­ sos acumulados- otro importante problema que se plantea en la teoría de control: el desacoplamiento de perturbaciones, es decir, el diseño de una realimentación que independice a la salida del sistema de la perturbación en cuestión. Establecidas las condiciones con las que es posible resolver el problema, las conectamos con un método de control de reconocida utilidad, como es el control por mode lo de referencia. A partir de los resultados sobre desacoplamiento de perturbaciones establecemos condiciones que permiten el diseño de realimentaciones dinámicas que logran que el comportamiento entrada-salida de la planta no lineal sea igual al de un modelo lineal de re­ ferencia. Finaliza el Capítulo con la aplicación de las técnicas expuestas a una columna de destilación.

No incluir en un texto de control no lineal los temas de controlabilidad y observabilidad es imposible. Ambos son tratados en los Capítulos 8 y 9 res­ pectivamente. En el caso de la controlabilidad, el planteo realizado conecta el problema con el de seguimiento de salidas; se obtienen resultados como generalización del análisis sobre sistemas sistemas lineales, y se extiende, en cierta forma, lo realizado en el Capítulo 5 sobre seguimiento de trayectorias, ya que se logra tal seguimiento a través de los llamados puntos singulares.

La observabilidad se plantea en el estilo de la teoría de Luenberger para sistemas lineales, y obtenidos los resultados que permiten la construcción de observadores no lineales, se aplican a un problema ecológico y a un brazo de robot que incluye la dinámica de los motores de comando.

Finalmente, hemos querido cubrir otro de los tópicos clásicos en una exposición sobre control, y si hasta aquí todo se hizo usando la descripción del sistema en sus variables de estado, se impone tratar la otra descripción comúnmente usada: la descripción entrada-salida, que en el campo lineal está dada por la operación de convolución.

Hemos elegido introducir -en el Capítulo 10, y para lograr una represen­tación entrada-salida de los sistemas no lineales- las series generatrices de Fliess. La razón es doble. Una, porque permite cierto calculo simbólico para sistemas no lineales que se puede ver como una, generalización de lo que es la transformación de Laplace en los sistemas lineales; otra, porque permite demostrar un interesante resultado debido a Fliess y Sussmann: cualquier comportamiento (analítico) entrada-salida no lineal puede ser aproximado por uno bilineal, es decir, por un sistema de la clase no lineal mas sencilla, la primera de las que pueden considerarse en sí camino de lo lineal hacia lo no lineal.

Finaliza la exposición en el Capítulo 11, en el que se usa el resultado de aproximación comentado para lograr la identificación de sistemas no lineales, exhibiendo una técnica que permite la construcción del bilineal aproximado.

Basándonos en nuestra experiencia -lograda en varios cursos dictados sobre el tema- aspiramos a que el lector que recorra estas páginas quede munido de los conocimientos necesarios que le permitan acceder a las pu­blicaciones sobre las aplicaciones de la teoría a los distintos ramos de la ingeniería, que están en pleno proceso de expansión y que -según todo lo indica- tienen un promisorio futuro. También, interés teórico mediante, se aplique al estudio de la geometría diferencial si es que pretende, a partir del material que presentamos, profundizar en la teoría matemática de control no lineal y en sus fundamentos teóricos.

C.E.D'A.
Buenos Aires, Marzo de 1991.

La edición de este libro se debe al "Concurso de obras inéditas en temas de instrumentación y control" organizado por la Asociación Argentina de Control Automático (AADECA), y del que resultó ganador. Por esa razón este Proemio tiene dos partes: la primera fue escrita hace más de un año, y en ella se evitaron los agradecimientos y dedicatorias en consideración al carácter anónimo del Concurso; la segunda es la presente, en la que, cumpliendo con un ineludible deber, éstos se agregan para nombrar personas y lugares que tanto tienen que ver con la aparición de este libro.

Debe encabezar la lista el Directorio de AADECA, porque acciones como la que hace posible esta publicación son importantes para el desarrollo científico y tecnológico, y respaldan la tarea de autores, docentes e investigadores. Luego cabe mencionar a los alumnos de mis cursos de Control No Lineal que, desde 1988, vengo dictando en el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Han sido varios cursos con distintos enfoques, que permitieron tanto la asis­tencia de alumnos de la Licenciatura y del Doctorado en Matemática como también, gracias a la iniciativa del Ing. Carlos Godfrid y del Dr. Ricardo S. Sánchez Peña, de alumnos de Ingeniería Electrónica. Ellos ayudaron, con sus inquietudes, a la obtención del resultado final que exponemos.

Es claro que algunos de esos alumnos deben ser mencionados en parti­cular, y son los que siguieron trabajando en nuestro grupo; por ejemplo, la Lic. Paula I. Brudny, que participó como alumna en el mejoramiento de la primera versión del primer apunte de la materia, y como becaria, en la corrección de la edición final. Pero sobre todo el Ing. Lic. Rafael A. García, destacado colaborador con quien realizamos muchos trabajos en conjunto en estos últimos años, y que tuvo la deferencia de leer pacientemente capítulo por capítulo, anotando numerosos e inteligentes comentarios, sugerencias y correcciones. A él se deben, además, todas las simulaciones que se presentan en el libro.

Colaboró también, y mucho, el ambiente en el que se desarrollan nues­tras actividades, por lo que importante parte se debe a la entrañable amistad y a la colaboración brindadas por los integrantes de la División Aplicacio­nes Científicas del Centro de Cálculo Científico de la Comisión Nacional de Energía Atómica, y por quienes trabajan en mi grupo en el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas.

Los largos atardeceres pasados en el Centro de Calculo Científico escri­biendo este libro vuelven ahora con nostalgia, y si, como nos enseñó Jorge Luis Borges, dedicar un libro es el modo más grato de pronunciar un nombre, vaya este dedicado a ustedes, mis amigos.

C.E.D'A
Buenos Aires, Mayo de 1992.