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Control Lineal Avanzado y Control Óptimo

Carlos Enrique D’Atellis y Carlos Nicolás Rautenberg

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SUMARIO
INTRODUCCIÓN

El texto que se presenta supone un interés en el tema de Control iniciado en alguno de los cursos clásicos que se dictan sobre el mismo, aunque también puede ser leído por quienes desean iniciarse en el tema desde un punto de vista moderno. En efecto, el texto intenta ser autocontenido, aunque el lector deba recurrir —como es inevitable— a algunas referencias citadas en la bibliografía para completar ciertos aspectos de la exposición.

La estructura del libro es lo que comentaremos a continuación. Está dividido en dos partes. Parte Primera: Control Lineal, expuesta en seis Capítulos; Parte Segunda: Control óptimo, compuesta por tres Capítulos. Los Capítulos, en su mayoría y cuando corresponde, tienen problemas que obran de motivadores de las ideas que se explican. Poseen además, ejemplos que se desarrollan completamente, ejercicios al final de cada uno de los capítulos, y, al fin del libro, un Apéndice con comandos útiles tanto del MATLAB como del MATHEMATICA para los cálculos y las simulaciones realizadas, y otro Apéndice con principios y teoremas fundamentales de la transformada de Laplace. Al comienzo, y para facilitar la lectura, se incluye un listado de la simbología utilizada.

La primera parte comienza con la descripción de los sistemas lineales e invariantes. La convolución aparece entonces, como la operación ligada a la representación de los mismos. Pero aquí surge algo interesante que, en general, no es tratado en los libros de control. Es el concepto de la “delta de Dirac”, básico en sistemas lineales, pero casi nunca bien explicado.

Resulta poco coherente enseñar la teoría de control contradiciendo los principios básicos del análisis matemático aprendidos en el primer curso de cálculo. Efectivamente, los alumnos de estos cursos saben que si se cambia el valor de una función f(x) solo en un punto, la integral de f(x) entre a y b no cambia de valor; también saben que si una función no es continua en un punto no tiene derivada allí, porque se les demostró, entre los resultados elementales, que una función derivable es continua. Curiosamente, al avanzar en sus estudios pasan a aceptar que la “delta” es una función que es no nula en sólo un punto, pero que su integral vale uno; y que la derivada de la función escalón en el origen es una “delta”. Estas contradicciones son evitadas en el libro presentado, ya que desde el Capítulo 1 se le da el marco adecuado: la teoría de distribuciones o funciones generalizadas. Dentro de ella, expuesta en forma tal que sea comprensible con los elementos usuales de los cursos de análisis matemático, se definen las operaciones de convolución y transformada de Laplace. Así, desaparece el misterio de la delta de Dirac, tan usada, pero con fundamentos tan endebles como los que comentamos antes.

ÍNDICE
  • PARTE PRIMERA: CONTROL LINEAL
  • 1 Teoría clásica de control y funciones generalizadas (distribuciones)
  • 1.1 Introducción y operadores lineales 1
  • 1.2 Teoría clásica de control 5
  • 1.2.1 La convolución 6
  • 1.3 Funciones generalizadas (distribuciones) 9
  • 1.3.1 Motivación del problema 10
  • 1.3.2 Unidad de la convolución 12
  • 1.3.3 Distribuciones o funciones generalizadas 18
  • 1.3.4 La convolución 23
  • 1.3.4.1 Producto tensorial de dos distribuciones 23
  • 1.3.4.2 Convolución de dos distribuciones 25
  • 1.3.5 La transformada de Laplace de una distribución 28
  • 1.4 Análisis de sistemas LIT 30
  • 1.4.1 Propiedades importantes de los sistemas LIT 31
  • 1.4.2 Orden de sistemas 33
  • 1.4.2.1 Sistemas de primer orden 33
  • 1.4.2.2 Sistemas de segundo orden 34
  • 1.4.2.3 Sistemas de orden superior 41
  • 1.5 Consideraciones bibliográficas 42
  • 1.6 Problemas y ejercicios 44
  • 2 Análisis matricial 49
  • 2.1 Formas cuadráticas, bilineales y hermíticas 49
  • 2.2 Normas vectoriales y matriciales 53
  • 2.3 Funciones de matrices 59
  • 2.3.1 Matrices con autovalores diferentes 63
  • 2.3.2 Matrices con autovalores repetidos 66
  • 2.4 Ecuaciones diferenciales matriciales 76
  • 2.4.1 Derivadas e integrales matriciales 76
  • 2.4.2 Existencia y unicidad de la solución de la ecuación de primer orden 78
  • 2.4.3 La matriz de transición 81
  • 2.5 Consideraciones bibliográficas 83
  • 2.6 Problemas y ejercicios 84
  • 3 Teoría moderna de control 87
  • 3.1 Introducción 88
  • 3.2 Análisis del sistema sin control 91
  • 3.2.1 Propiedades de la matriz de transición 93
  • 3.2.2 Calculo de la matriz de transición para sistemas LIT 97
  • 3.2.3 La matriz de transición para sistemas LVT 102
  • 3.2.4 Sistemas LVT periódicos 107
  • 3.3 Análisis del sistema con control 112
  • 3.3.1 Sistemas LTI perturbados sin control 116
  • 3.3.2 Discretización de sistemas 122
  • 3.4 Consideraciones bibliográficas 127
  • 3.5 Problemas y ejercicios 128
  • 4 Estabilidad de sistemas 131
  • 4.1 Definiciones de estabilidad 132
  • 4.2 Medida de matrices y estabilidad 142
  • 4.3 Teoría de la estabilidad de Liapunov 154
  • 4.3.1 Estabilidad de sistemas lineales según Liapunov 171
  • 4.4 Consideraciones bibliográficas 176
  • 4.5 Problemas y ejercicios 178
  • 5 Controlabilidad 181
  • 5.1 Motivación del problema y definición 181
  • 5.2 Operadores, controlabilidad en R y el subespacio controlable 184
  • 5.3 El grammiano de controlabilidad y el control de mínima energía 190
  • 5.3.1 Propiedades del control de mínima energía 191
  • 5.3.2 Propiedades del grammiano de controlabilidad 195
  • 5.4 La matriz de controlabilidad 205
  • 5.5 Problemas y ejercicios 212
  • 6 Observabilidad 215
  • 6.1 Motivación del problema y definición 215
  • 6.2 Operadores, observabilidad en R y el subespacio observable 218
  • 6.2.1 Observabilidad. Caso especial, u ( ) = 0 n 219
  • 6.2.2 Observabilidad. Caso general, u ( ) ? L 2 220
  • 6.3 El grammiano de observabilidad y los observadores 223
  • 6.3.1 El grammiano de observabilidad 223
  • 6.3.2 Sistemas duales 229
  • 6.3.3 Observadores. Salida sin ruido 230
  • 6.3.4 Observadores. Salida con ruido (Filtro de Kalman) 236
  • 6.4 La matriz de observabilidad 244
  • 6.5 Problemas y ejercicios 247
  • PARTE SEGUNDA: CONTROL ÓPTIMO
  • 7 Sistemas óptimos lineales de control 251
  • 7.1 Motivación del problema 252
  • 7.2 El regulador óptimo en un intervalo finito 253
  • 7.3 La ecuación matricial de Riccati 259
  • 7.4 El regulador óptimo en estado estacionario sobre sistemas LIT 262
  • 7.5 Problemas y ejercicios 265
  • 8 Sistemas óptimos no lineales de control. Cálculo variacional. 269
  • 8.1 Introducción al cálculo de variaciones 269
  • 8.1.1 Continuidad de funcionales 270
  • 8.1.2 Variación de funcionales 271
  • 8.2 La ecuación de Euler y el lema fundamental 273
  • 8.3 La ecuación de Euler sobre extremos condicionados 276
  • 8.3.1 Vínculos de la forma , x ( ) x ( )] = 0 277
  • 8.3.2 Problemas isoperimétricos 281
  • 8.4 Resumen y método de resolución de sistemas óptimos de control 283
  • 8.5 Principios de controladores PI 291
  • 8.6 Control óptimo con limitaciones sobre el control 294
  • 8.7 El problema general de control óptimo lineal 299
  • 8.8 Problemas y ejercicios 303
  • 9 Sistemas óptimos no lineales de control.
  • El principio del máximo de Pontriaguin. 305
  • 9.1 El principio del máximo de Pontriaguin 305
  • 9.1.1 Controles admisibles 305
  • 9.1.2 El problema fundamental 306
  • 9.1.3 El principio del máximo 307
  • 9.2 Método de resolución de problemas de control óptimo 310
  • 9.3 La relación entre la ecuación de Euler y
  • el principio del máximo de Pontriaguin 321
  • 9.4 Problemas y ejercicios 326
  • Apéndice primero. Comandos útiles de Mathematica y MatLab 329
  • Apéndice segundo. La transformada de Laplace 335
  • Bibliografía 347

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