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Fundamentos de la Navegación Integrada

Ing. Martín España

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SUMARIO
INTRODUCCIÓN

Es costumbre denominar “parámetros de navegación” al conjunto de valores numéricos que describen la posición, la velocidad y la orientación de un vehículo respecto de un dado sistema de referencia y en unas dadas unidades. Con base en esta denominación, definimos navegación como “el arte y la ciencia que permiten determinar los parámetros de navegación de un vehículo con información disponible a bordo del mismo.”

Desde tiempos remotos, motivados por sus desplazamientos sobre la tierra o el mar, los seres humanos han utilizado diversas técnicas de navegación. Algunas permiten determinar el valor absoluto de los parámetros de navegación del vehículo (o del individuo) gracias a mediciones referidas a cuerpos exteriores al mismo, por ejemplo, los objetos cercanos en la navegación “a vista”, los astros de posición conocida en el firmamento*, el campo geomagnético local que, mediante una aguja imantada, permite determinar el rumbo respecto del norte magnético (técnica utilizada antiguamente en China, en Europa y en algunas civilizaciones mesoamericanas). Otras técnicas se basan en la medición de la velocidad de variación de los parámetros de navegación, lo que requiere conocer sus valores iniciales en un punto de partida. En este caso, los nuevos parámetros de navegación son determinados por “extrapolación” integrando la velocidad de cambio. Este procedimiento, tradicionalmente usado en la navegación marina, es conocido en inglés con el nombre de “dead-reckoning” en alusión al método de medir la velocidad de un barco respecto de un cuerpo muerto supuestamente inmóvil sobre la superficie del agua. Similarmente, en aeronavegación se utiliza la medición de la velocidad respecto del aire exterior obtenida mediante tubos de Pitot. La medición de la velocidad combinada con el conocimiento del rumbo magnético permite estimar la posición por extrapolación desde una posición conocida anterior.

Una limitación de los métodos de extrapolación clásicos es la dependencia de sus mediciones respecto de un medio (aire o agua) que no solamente es usualmente perturbado por corrientes o vientos sino que además sus propiedades físicas cambiantes (temperatura, la presión, la humedad, etc.) alteran la estabilidad de la medición ya se de la velocidad o de la aceleración. Durante el siglo XX se desarrollaron instrumentos inerciales que permiten medir, a bordo del vehículo, su celeración y velocidad angular respecto de un sistema inercial (sistema fijo respeto de las estrellas) en forma estable e independientemente de las condiciones ambientales. Esta ventaja motivó una gran difusión de estos instrumentos, en particular, en las aplicaciones a la aeronavegación y al desarrollo de cohetes. Sin embargo, como veremos, toda técnica de extrapolación conlleva una propagación de errores en los parámetros de navegación de magnitud creciente polinomialmente con el tiempo. Por esta razón y como veremos mas adelante, esta técnica es usualmente combinada con sistemas de medición absoluta de los parámetros de navegación.

ÍNDICE
  • Capítulo 1: Introducción 91.1 Sistemas de referencias 10
  • 1.2 Clasificación de los métodos de navegación 11
  • 1.2.1 Métodos de extrapolación 11
  • 1.2.2 Métodos de referenciamiento absoluto 11
  • Radionavegación 12
  • Navegación Celeste 13
  • Navegación con mapa 14
  • 1.3 Navegación Inercial 14
  • 1.3.1 Navegación inercial con plataforma estabilizada 16
  • Bloqueo de timbal 19
  • 1.3.2 Navegación inercial con instrumentos fijos al vehículo (strapdown) 19
  • Propagación de errores en la navegación inercial strapdown 20
  • 1.4 Navegación multisensor o integrada 22
  • Capítulo 2: Instrumentos Inerciales 25
  • 2.1 Acelerómetros 26
  • 2.1.1 Acelerómetros realimentados de péndulo 28
  • 2.1.2 Acelerómetros micromaquinados MEMS 28
  • 2.2 Giróscopos 30
  • 2.2.1 Giróscopos rotatorios 31
  • 2.2.2 Giróscopos vibratorios 32
  • Giróscopo de diapasón 33
  • Giróscopo de disco oscilante 34
  • Giróscopo de anillo vibratorio 34
  • 2.2.3 Giróscopos ópticos 36
  • Giróscopos de láser en anillo (RLG) 37
  • Giróscopos interferométricos de fibra óptica (IFOG) 38
  • 2.3 Unidades de medidas inerciales (UMI) 39
  • 2.3.1 Modelo matemático de una UMI 40
  • 2.3.2 Caracterización de las perturbaciones estocásticas 41
  • Ruido blanco contínuo 42
  • Ruido “markoviano” 42
  • Movimiento browniano 42
  • Superposición de perturbaciones estocásticas 43
  • 2.4 Performance y categorías de los instrumentos inerciales 44
  • Capítulo 3: Cinemática de la Orientación de un Cuerpo en el Espacio 47
  • 3.1 Parametrizaciones de la orientación de un cuerpo en el espacio 47
  • 3.1.1 Rotaciones alrededor un punto 48
  • 3.1.2 Matriz de cosenos directores (MCD) 51
  • 3.1.3 Angulo vectorial de rotación o eje y ángulo de Euler 53
  • Rotaciones alrededor de un eje de dirección invariante 53
  • Relación con la MCD 54
  • Teorema de Euler 56
  • 3.1.4 Espacio vectorial de pequeñas rotaciones y diferencial de una MCD 56
  • Interpretación geométrica 58
  • 3.1.5 Rotaciones alrededor de los ejes coordenados: Ángulos de Euler 58
  • Relación entre los ángulos de Euler y la MCD 59
  • 3.1.6 Parámetros simétricos de Euler o cuaterniones 61
  • Relación entre cuaterniones y MCD 62
  • Representación hipercompleja y álgebra de cuaterniones 63
  • Transformación de vectores de 3 mediante cuaterniones 64
  • Relación entre cuaterniones y ángulos de Euler 65
  • Diferencial de cuaterniones 66
  • 3.2 Ecuaciones cinemáticas de la orientación 67
  • 3.2.1 Ecuación cinemática de la MCD 67
  • 3.2.2 Ecuación cinemática del cuaternión de orientación 68
  • 3.2.3 Ecuación cinemática del ángulo vectorial de rotación: Ecuación del “coneo” 69
  • 3.2.4 Ecuación cinemática de los ángulos de Euler 71
  • Capítulo 4: Geometría de la Tierra, Ternas de Referencia y Gravedad 73
  • 4.1 Geometría de la Tierra 74
  • 4.1.1 El Geoide y Otras Superficies de Referencia 74
  • 4.1.2 Geometría del Elipsoide Normal 75
  • 4.2 Ternas de referencia 78
  • 4.2.1 Terna Centrada Terrestre (ECEF) y terna Inercial Centrada Terrestre (ECI) 78
  • 4.2.2 Terna Vertical Geocéntrica Local (LGCV) 80
  • 4.2.3 Terna Vertical Geodésica Local (LGV) 81
  • 4.2.4 Terna Vertical Astronómica Local (LAV) 84
  • 4.2.5 Ternas del cuerpo y de los instrumentos 85
  • 4.3 Modelos Globales de Gravitación y Gravedad 86
  • 4.4 Aproximaciones del Potencial Gravitacional Terrestre 89
  • 4.4.1 Gravedad Normal 90
  • Gravedad normal en coordenadas terrestres (ECEF) 92
  • Aproximación J2 93
  • 4.4.2 Perturbaciones de la Gravedad 94
  • Capítulo 5: Ecuaciones Cinemáticas y Ecuaciones de Navegación 97
  • 5.1 Ecuaciones de Navegación en Coordenadas ECI 98
  • 5.2 Ecuaciones de Navegación en Coordenadas ECEF 100
  • 5.3 Ecuaciones de Navegación en Coordenadas LGV 103
  • 5.3.1 Rotación por transporte 105
  • 5.4 Dinámica Inestable de las Ecuaciones de Navegación 108
  • 5.4.1 Filtro Estabilizador del Canal Vertical 109
  • Capítulo 6: Modelo y Dinámica de los Errores de las Ecuaciones de Navegación 113
  • Dinámica de las pequeñas perturbaciones 114
  • 6.1 Dinámica del error angular de orientación del vehículo 115
  • 6.2 Dinámica del error de navegación en coordenadas ECI 116
  • 6.3 Dinámica del error de navegación en coordenadas ECEF 117
  • 6.4 Dinámica del error de las ecuaciones de navegación en coordenadas LGV 118
  • 6.4.1 Error angular de posición en terna LGV 118
  • 6.4.2 Error de orientación o error angular de plataforma 121
  • 6.4.3 Relación entre los errores de posición y de plataforma: error angular
  • inercial 123
  • 6.4.4 Propagación del error de velocidad 124
  • Diferencial de la rotación por transporte 124
  • Diferencial de la gravedad 125
  • 6.4.5 Ecuaciones generales de la dinámica del error en terna LGV 126
  • 6.5 Ejemplos de ecuaciones de errores y aplicaciones 127
  • Ejemplo 6.1: Ecuaciones del error en coordenadas geográficas. 127
  • Ejemplo 6.2: Error de navegación en terna {g} para un vehículo en reposo sobre la Tierra. 129
  • Ejemplo 6.3: Autoalineación de un vehículo estacionario sobre la Tierra. 132
  • Capítulo 7: Algoritmos de Navegación Inercial 137
  • 7.1 Integración numérica de las ecuaciones de navegación en terna LGV 138
  • 7.1.1 Notación 139
  • 7.1.2 Integración numérica de las ecuaciones de orientación 141
  • Cálculo de ( 1)
  • ( ) Cn k / n k / 142
  • Cálculo del ángulo : 1
  • 7.1.3 Integración numérica de las ecuaciones de traslación 147
  • Algoritmo digital de la actualización de la posición 147
  • Algoritmo digital de la actualización de la velocidad 148
  • Cálculo de los términos de gravedad y Coriolis 149
  • Cálculo del término de la fuerz espacífica 149
  • 7.2 Integración numérica de las ecuaciones de navegación en terna ECEF 153
  • 7.2.1 Integración de las ecuaciones de orientación 154
  • 7.2.2 Integración de las ecuaciones de traslación 154
  • Cálculo del término de la gravedad 156
  • Cálculo del término de la fuerza específica. 156
  • 7.3 Comparación entre los algoritmos en ternas LGV y ECEF 157
  • Capítulo 8: Navegación Satelital Global 159
  • 8.1 Arquitectura de los sistemas GNSS 160
  • 8.1.1 El segmento espacial 160
  • 8.1.2 El segmento terreno 163
  • 8.2 Características de la señal GPS 165
  • 8.3 El receptor GPS 167
  • 8.3.1 Adquisición de la señal 169
  • 8.3.2 Sintonía y rastreo de la señal 169
  • 8.3.3 Demodulación del tren de bit de datos 170
  • 8.3.4 Contenido del mensaje GPS 171
  • Estructura de la trama del mensaje GPS 172
  • 8.3.5 Mediciones de un receptor GPS 172
  • Efectos atmosféricos 173
  • 8.4 Medición del pseudo-rango con código 175
  • 8.4.1 Posicionamiento estándar con un receptor GPS 176
  • 8.4.2 Precisión del posicionamiento estándar 179
  • Fuentes y presupuesto de errores en la medición de código 180
  • 8.5 Modelo de la fase Doppler 181
  • 8.5.1 Relación entre la medida de la fase Doppler y la distancia al satélite 184
  • Comparación entre las mediciones de pseudo-rango y fase 185
  • 8.6 Medida del Doppler y Estimación de la Velocidad 185
  • 8.6.1 Precisión de la estimación de la velocidad. 187
  • Capítulo 9: Navegación Integrada 188
  • 9.1 Formulación del problema 189
  • 9.1.1 Descripción del sistema de medida 190
  • 9.1.2 Estado aumentado del sistema de navegación 191
  • 9.2 Estimación óptima Bayesiana del estado aumentado 192
  • Paso 1 –Predicción 193
  • Paso 2 –Actualización 193
  • 9.3 Filtro de Kalman extendido (FKE) 195
  • 9.3.1 Predicción: Propagación del estimador a priori 195
  • 9.3.2 Actualización: Regresor lineal óptimo 197
  • 9.3.3 Implementación numérica del FKE 199
  • 9.4 Ejemplos de aplicación de la Navegación Integrada 202
  • 9.4.1 Instrumentación inercial integrada con datos de radar 202
  • Modelo del sensor exteroceptivo 203
  • Ecuación de las desviaciones 203
  • Modelo de la innovación 204
  • 9.4.2 Instrumentación inercial integrada con GPS 206
  • Desviación del estado aumentado 207
  • Modelo de los sensores exteroceptivos 207
  • Modelo de la innovación 208
  • Ecuación de las desviaciones 211
  • 9.5 Desarrollo y validación de un sistema de navegación para un avión 211
  • 9.5.1 Arquitectura del sistema 211
  • 9.5.2 Resultados experimentales 212
  • 9.5.3 Conclusiones 217
  • Apéndice A: Modelo del Potencial Gravitacional Terrestre 218
  • A.1 Propiedades de las funciones asociadas de Legendre 220
  • A.2 Funciones Armónicas Esféricas 221
  • A.3 El Potencial Gravitacional 222
  • Apéndice B: Matriz Jacobiana de la Aproximación J2 225
  • Apéndice C: Momentos de 1º y 2º orden de un Proceso Estocástico Continuo Lineal 227
  • Referencias 229

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