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Introducción a la Teoría de Control Robusto

Ricardo S. Sánchez Peña

Socios de AADECA: $150 | No-socios: $300

SUMARIO
INTRODUCCIÓN

El objetivo de este libro es el de cubrir los temas fundamentales del control lineal de los últimos diez anos, motivando, a. partir de las limitaciones y problemas de las teorías de Control Clásico y Moderno, la nueva teoría de control Robusto. Se ha buscado no solo aportar la base teórica sobre el tema, sino también la conex ión de esta con la resoluci6n computacional. Para ello se brindan a lo largo del libro diversos algoritmos, necesarios para abordar el análisis y diseño de controles robustos mediante computadora. El objetivo final es, sin lugar a dudas el de la aplicación, por lo tanto, se presentan varios ejemplos tornados de la práctica. El capitulo final esta dedicado a casos de aplicación que evidencian complicaciones particulares, las que solo pueden ser resueltas, de manera rigurosa, mediante el enfoque robusto. Se inclu­ yen tres Apéndices, que aportan el background necesario sobre Matemática, Sistemas Lineales y Control para abordar la lectura del libro.

Desde el punto de vista educativo, mi intención es la de aportar un texto que cubra dos materias semestrales de especializaci6n en Teoría de Control Automático. El texto esta basado en los cursos Control Opti mo y Control Robusto que- dicto, dentro de la carrera de Electrónica., en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires. Para facilitar la tarea docente, he incluido en varios capítulos, problemas y preguntas. Agradezco a AADECA el apoyo constante que brinda a. la. comunidad del Con­ trol dentro del país y en particular a través de este Concurso de Obras Inéditas en Instrumentación y Control Automático. Asimismo deseo mencionar el respaldo de la C.N.E.A. que, a través del titular del Centro de Cómputos y del personal de Docum entación Técnica, hizo posible la impresión de los originales del texto.

Dentro de los agradecimientos personales, desearía comenzar por el Ing. Mauricio Zadunaisky, que incentive desde un principio mi interés por la investigación y la docencia y con quien tuve el placer de trabajar. También deseo agradecer a mis colegas de la Divisi6n Aplicaciones Científicas del Centro de Cómputos de la CNEA y del Depto. de Electrónica de la FI-UBA el apoyo continuo, los comentarios, las ideas y la colaboración, sin la cual me hubiera, sido imposible finalizar esta, labor. En particular debo mencionar al Lic. Armando Pérez y a los Ings. Ricardo Veiga y Carlos Godfrid que leyeron y comentaron, de manera inteligente, diversas partes del texto. A este ultimo debo además, el haberme empujado desde un principio para acometer esta. tarea. La ayuda para el compaginado que me brindaron Diana Rubio y Graciela Cerezo result6 esencial. Cristina Parpaglione y Elena Fernández Berdaguer aportaron una cuota de respaldo anímico insustituible.

ÍNDICE
  • Introducción 1
  • 11 Problema general de Control 1
  • 111 Experimentac ió n 1
  • 112 Simulación 2
  • 113 Teoría 2
  • 114 Ejemplo 3
  • 12 ¿Por que realimentar? 4
  • 13 Objetivos de una teoría aplicada 8
  • 14 Compromisos dentro del lazo 10
  • 15 Perspectiva Histórica 12
  • 16 Objetivos del texto 14
  • 2 Sistemas univariables 17
  • 21 Introducción 17
  • 22 Estabilidad nominal 17
  • 23 Estabilidad robusta 19
  • 231 márgenes de Fase y Ganancia 19
  • 232 Incertidumbre dinámica global 23
  • 24 Performance nominal 29
  • 241 Perturbaciones conocidas 29
  • 242 Perturbaciones acotadas a la salida 30
  • 243 Otros criterios de performance 33
  • 25 Performance robusta 34
  • 26 Extensiones a Sistemas Multivariables 39
  • 27 Problemas 43
  • “Loop shaping” multivariable 47
  • 31 Introducción 47
  • 32 Estabilidad nominal ( ? = 0) 49
  • 33 Performance nominal ( ? = 0) 50
  • 4 Estabilidad robusta ( ? ? 0) 51
  • 35 Performance robusta ( ? ? 0) 53
  • 351 Incertidumbre a la salida 54
  • 352 Incertidumbre a la entrada 55
  • 36 Método de diseño 36
  • 37 Otros métodos de diseño 59
  • 38 Problemas 60
  • 4 Control Moderno “clásico” 63
  • 41 Introducción 63
  • 42 Ubicación de Polos 64
  • 43 Determinístico vs Estocástico 66
  • 44 Regulador optima Lineal 68
  • 441 Introducción … 6S
  • 442 Caso lineal Determinístico … 70
  • 443 Caso lineal Estocástico … 74
  • 45 Observador Óptima lineal 75
  • 451 Interpretación Estocástica …………………………………………… 76
  • 46 Dualidad y Equivalencias 78
  • 47 Propiedades robustas 79
  • 48 optimo con realimentación de salida 82
  • 49 Problemas 85
  • 5 Diseño en tiempo y frecuencia 89
  • 51 Introducción 89
  • 52 LQG/LTR 90
  • 521 Planteo … 90
  • 522 Aplicación a la Turbina F-100 … 94
  • 33 LQG en el dominio de la frecuencia 99
  • 531 Aplicación al diseño de un autopiloto …103
  • 6 Control optimo en H 2 H 8 111
  • 61 Introducción 111
  • 62 M-minimización de la salida 112
  • 63 Lemas -preliminares 115
  • 64 Control optimo en H 2 117
  • 641 Problemas especiales … 118
  • 642 Computo del control óptimo en H 2  … 124
  • 65 Control optimo en H 8  127
  • 651 Computo de la norma I”‘026B30D • I”‘026B30D, … 127
  • 652 Solución del problema de Control optimo en 8 … 128
  • 653 Aplicación a1 diseño de un autopiloto … 130
  • 66 Problemas 135
  • 7 Aproximación de Modelos 137
  • 71 Introducción ………………………………… 137
  • 72 Enfoque Geométrico 138
  • 721 Espacio Controlable Observable … 138
  • 722 Direcciones preferenciales … 140
  • 73 Valores Singulares de Hankel 146
  • 731 Sistemas Continuos 146
  • 732 Sistemas Discretos 147
  • 733 Operadores de Hankel 148
  • 74 Reducción de Modelos 152
  • 741 Introducción 152
  • 742 Realizaciones Balanceadas 154
  • 743 Truncamiento 156
  • 75 Algoritmos 160
  • 76 Problemas 162
  • 8 Descripción Fraccional de Sistemas 165
  • 81 Introducción 165
  • 82 Matrices de Polinomios 165
  • 821 Definiciones 165
  • 822 Descripción fraccional 169
  • 83 Ceros v Polos multivariables 173
  • 831 Forma de Smith-McMillan 173
  • 832 Definiciones equivalentes 174
  • 84 Matrices de Transferencia 177
  • 85 Fracciones coprimas en variables de estado 179
  • 851 Estructura de la realización 179
  • 852 Estabilización 183
  • 853 Resultados 185
  • 86 Controladores estabilizantes 186
  • 861 Sistemas bien planteados 186
  • 862 Estabilidad interna 188
  • 863 Parametrizacion 190
  • 87 Aplicaciones del planteo algebraico 193
  • 871 Controlador de dos grados de libertad 193
  • 872 Perturbaciones dive rg entes 195
  • 873 Ejemplo 199
  • 88 Problemas 202
  • 9 Incertidumbre Estructurada 205
  • 91 Introducción 205
  • 92 Margen de Estabilidad 207
  • 93 Incertidumbre dinámica estructurada 210
  • 931 Computo 210
  • 932 Análisis y Síntesis 213
  • 94 Incertidumbre paramétrica 216
  • 941 Introducción 216
  • 942 Teorema de Kharitonov ………………………………………………218
  • 943 Estructuras afines 222
  • 944 Estructuras multilíneales particulares 225
  • 945 Estructuras paramétricas generales 227
  • 95 Incertidumbres combinadas 238
  • 951 Planteo del Problema 238
  • 952 Computo 240
  • 953 Ejemplo 242
  • 96 Problemas 244
  • 10 Aplicaciones 247
  • 101 ANALISIS PARXMETRICO 247
  • 1011 Modelo linealizado 247
  • 1012 Resultados 252
  • 102 SIN TESIS EN H 8 , 254
  • 1021 Modelo 254
  • 1022 Diseño 258
  • 1023 Resultados 259
  • 103 SINTESIS- 261
  • 1031 Hipótesis y Modelo 261
  • 1032 Diseño 263
  • 1033 Resultados 263
  • 104 RETARDOS DE TIEMPO 266
  • 1041 Modelo matemático de la Planta 266
  • 1042 Modelo (computacional) reducido 267
  • 1043 Análisis Robusto del sistema 268
  • 1044 Diseño del Controlador 274
  • 105 PLANTA DIAL CONDICIONADA 276
  • 1051 Introducción 276
  • 1052 Destilación de Alta Pureza 277
  • 1053 Diseños del controlador 279
  • A Fundamentos matemáticos 285
  • 1 Estructuras algebr6icas 285
  • A11 Grupo 285
  • A12 Anillo 286
  • A13 Cuerpo 286
  • A14 Espacio vectorial 287
  • A2 Espacios de funciones 289
  • A21 Introducción 289
  • A22 Espacios de Banach y Hilbert 290
  • A23 Espacios de señales v transferencias 290
  • A3 Transformaciones Lineales 292
  • A31 Núcleo y Rango 292
  • A32 Isomorfismo e Isometría 294
  • A33 Norma, inducida 295
  • A4 Valores Singulares 296
  • A41 Definición 296
  • A42 Propiedades y Aplicaciones 297
  • B Modelos en variables de estado 301
  • 1 Controlabilidad 301
  • B2 Estabilizabilidad 303
  • B3 Observabilidad 303
  • 4 Detectabilidad 304
  • B5 Realizaciones mínimas 305
  • B6 Gramianos 310
  • B61 Propiedades de Gramianos 310
  • B62 Aplicaciones 311
  • B7 Interconexi6n de Sistemas 312
  • B71 Serie 312
  • B72 Cambio de variables 313
  • B73 Realimentación de estado 313
  • B74 Estimación del estado 313
  • 75 Sistema transpuesto 314
  • B76 Sistema con jugado-transpuesto 314
  • 77 Paralelo 314
  • B78 Realimentación 315
  • B 79 Inversa 315
  • B8 Transforrnaci6n Lineal Fraccionaria 316
  • C Ecuaciones matriciales 323
  • C1 Ecuación de Sylvester/Lyapunov 323
  • C11 Planteo 323
  • C12 Resolución 324
  • C13 Aplicaciones 325
  • C2 Ecuaci6n de Riccati 325
  • Índice de Figuras
  • 11 Las tres fases del problema general de control 4
  • 12 Lazo de control 5
  • 13 Sistema físico y modelo matemático 5
  • 14 Realimentación e Incertidumbre 6
  • 15 Plantas inestables 7
  • 16 Familia de lazos de control 10
  • 17 Compromisos surgidos de la realimentación 11
  • 21 Sistema realimentado para analizar estabilidad interna nominal ………… 18
  • 22 Márgenes de fase y ganancia 20
  • 23 Significado de los margenes de case y ganancia en términos de la in­ certidumbre 21
  • 24 Ejemplo l 22
  • 25 Caso de incertidumbre en la ganancia de lazo 22
  • 26 Distribución “frecuencial” de la incertidumbre 24
  • 27 Diagrama de Nyquist de la, familia de modelos 25
  • 28 Familia de sistemas a lazo cerrado con incertidumbre multiplicativa ………25
  • 29 Sistema de control perturbado a la, salida 30
  • 210 Distribución en frecuencias deseada para la sensibilidad S(s) 31
  • 211 Sistema de control “aumentado” por pesos W d (s) W y (s)  31
  • 212 Diagrama de Nyquist para performance nominal 33
  • 213 Sistema realimentado general 34
  • 214 Diagrama inverso de Nyquist para Performance nominal 35
  • 215 Perturbación a la salida sobre una familia de modelos con incertidum bre multiplicativa 36
  • 216 Diagrama de Nyquist Para Performance Robusta 37
  • 217 Performance robusta como Estabilidad robusta de modelos con incer tidurnbre estructurada 38
  • 218 Estabilidad robusta estructurada agregando la “incertidumbre” d 2 …… 39
  • 219 Ejemplo multivariable 40
  • 220 Análisis de lazos de control por separado 41
  • 221 Zonas de estabilidad-inestabilidad 42
  • 222 Valores singulares del lazo L(s) (s)K(s) G (s) K (s)  43
  • 223 Valores singulares de la matriz de Sensibilidad 44
  • 224 Valores singulares de la matriz de Sensibilidad complementaria 44
  • 31 Problema de seguimiento robusto  48
  • 32 Planteo canónico del problema 49
  • 33 Incertidumbre en el modelo de los actuadotes 54
  • 34 Conversión de incertidumbre de entrada a salida 56
  • 35 Diseño por `Loop shaping” 59
  • 41 Estructura regulador-observador 65
  • 42 Incorporación de perturbaciones de dinámica conocida 69
  • 43 Márgenes de fase y ganancia para el regulador LQR 81
  • 51 Controlador optima LQG – LQR – FKB 91
  • 52 Valores singulares de la matriz G(jw )G r ) (reducción de 23 a 13 estados) 95
  • 53 Valores singulares de la incertidumbre multiplicativa ?( jw ) 96
  • 54 Restricciones sobre el lazo de control L(jw) y valores singulares de G a L ( jw )  97
  • 55 Valores singulares del lazo “objetivo” L * ( jw )  98
  • 56 Valores singulares del lazo G( jw )(I/ jw )K( jw ) utilizando el modelo completo de la planta 100
  • 57 Superficies de vuelo y geometría vertical 104
  • 58 Especificaciones en forma de desigualdades 104
  • 59 S istema general de control 105
  • 510 Valores singulares de S o (jw) y T (jw) resultantes 107
  • 511 Respuestas a comandos de 01 rad/s en 8 y  108
  • 61 Planta general 113
  • 62 Estructura del lazo de realimentación 118
  • 63 Interrelaci6n entre los casos 1A y 2A 122
  • 64 Conexi6n entre G 24 (s) Y P 2,A (s)  122
  • 65 G(s) puesta como la LFT F! [G, (s)G tmp ,(s)]  125
  • 66 Familia de controladores subóptimos en x 131
  • 6,7 Estructura “aumentada” por los pesos W 1 (s) y W 2 (s) 133
  • 68 Costos “7016 ? T =w ( jw )] para optimos en y H 8 134
  • 69 “ 7016 ? S =w ( jw )] para óptimos en Y H  134
  • 610 “7016a F [T 0 (Jw)] para óptimos en H2  135
  • 71 Espacios controlable y observable 139
  • 72 Interpretaci6n del operador de Hankel 151
  • 81 Realimentación de estado para obtener una descripción fraccional derecha 180
  • 82 Realimentación de salida para obtener una descripción fraccional coprima derecha 181
  • 83 Observación del estado para obtener una descripción fraccional izquierda 183
  • 84 Estructura regulador + observador de un control estabilizante 184
  • 85 Estabilidad interna 187
  • 86 Planteo general del controlador 193
  • 87 Controlador de dos grados de libertad 194
  • 88 Perturbaciones inestables a la salida 196
  • 91 Modelo de actuadores, planta y sensores con sus respectivas incerti­ dumbres 207
  • 92 Análisis Robusto 208
  • 93 Equivalencia entre performance y estabilidad robustas 214
  • 94 Análisis de performance robusta 215
  • 95 Sistema nominal y estructura de incertidumbre paramétrica 217
  • 96 n T P , (jw) > 0 si y solo si el ángulo entre rl y cada vértice de la imagen
  • esta en (- p ,-/2,7r/2) 224
  • 97 Imagen del dominio ‘H a través de una función multilíneas compleja 228
  • 98 Crecimiento de la imagen con la variable k 230
  • 99 Contacto de la imagen con el origen en un vértice 231
  • 910 Contacto de la imagen con él origen en una Iota superior 232
  • 911 Vértices críticos AI1,11I; y partición del hipercubo 232
  • 912 Imágenes de funciones polinomiales en los o …………………………………………………… 234
  • 913 Dominio e imagen (rayados) en el caso de parámetros repetidos 235
  • 914 Combinación de incertidumbres dinámicas y parametricas 239
  • 915 Incertidumbres parametricas y dinámicas estructuradas 243
  • 101 Parámetros de una aeronave genérica 248
  • 102 Foto del X29 249
  • 103 Sistema de inyección de combustible 255
  • 104 Salida real vs simulación 25
  • 105 Transferencias e incertidumbres a distintas temperaturas 256
  • 106 Diagrama en bloques del problema 257
  • 107 Transformación lineal fraccionaria entre sistema y control 257
  • 108 Control Optimo en ‘H,: Respuestas simuladas 259
  • 109 Control Óptimo LQR: Respuestas experimentales 260
  • 1010 Control Óptimo en 7-1 : Respuestas experimentales 260
  • 1011 Parámetros del trasbordador (Ilustración de John C Doyle) 261
  • 1012 Diagrama en bloques general 262
  • 1013 Comparaci6n de señales de error 264
  • 1014 Comparación de señales de control 265
  • 1015 Aproximación por splines y Pade 269
  • 1016 Predictor de Smith 270
  • 1018 Incertidumbre en el retardo 272
  • 1019 Condiciones de Performance y Estabilidad 275
  • 1020 Respuesta al escalón 276
  • 1021 Columna de destilación 278
  • 1022 Diseño por Modelo interno (IMC) 280
  • 1023 Diseño Proporcional-Integral (PI)  281
  • 1024 Descripción total del sistema
  • 1025 Medidas de performance v estabilidad
  • 1026 Diseño robusto 281
  • A1 Sucesión no convergente en espacio de funciones 290
  • A2 Transformación lineal 292
  • A3 Rango y Núcleo de una transformación 293
  • A4 Controlabilidad 294
  • A5 Observabilidad 294
  • B1 Gramiano de controlabilidad 303
  • B2 Gramiano de observabilidad 305
  • B3 Subespacio controlable 307
  • B4 Subespacio observable 308
  • B5 Descomposición del sistema en subespacios 308
  • B6 Conexión serie 312
  • B7 Conexión paralelo 314
  • B8 Realilnentaci6n 315
  • B9 Ejemplo 1: Transformación bilineal 317
  • B10 Estructura general de control robusto 317
  • B11 Interconexión inferior F, [P(s), K(s)]  318
  • B12 Interconexión superior F„ [P(s), A] 318
  • B13 Interconexión de bloques de una TLF 319
  • B14 Ejemplo 2: Seguimiento robusto 320
  • B15 Ejemplo 3: Parametrizacion de controles estabilizantes 321
  • Índice de Tablas
  • 21 Descripciones de incertidumbre dinámica global Condiciones equiva­ lentes de Estabilidad robusta 29
  • 41 Dualidad entre regulación y observación optimas S
  • 101 Parámetros del avión 250
  • 102 Elementos de las matrices K a (s) Y K b (s)  252
  • 103 Condiciones de linealizacion 252

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